统计力学 第7次作业

Chasse_neige

7.20 试求爱因斯坦固体的熵。

爱因斯坦固体的配分函数为

$$Z(\beta )=\frac{e^{-\frac{1}{2}\beta h\nu }}{1-e^{-\beta h\nu }}$$

所以熵是

$$\begin{array}{c}S=3N{k}_B(\ln Z-\beta \frac{{\partial }^{}\ln Z}{\partial {\beta }^{}})\\ =3N{k}_B(-\frac{1}{2}\beta h\nu -\ln (1-e^{-\beta h\nu })-\beta \frac{1-e^{-\beta h\nu }}{e^{-\frac{1}{2}\beta h\nu }}\cdot \frac{-\frac{1}{2}h\nu e^{-\frac{1}{2}\beta h\nu }(1-e^{-\beta h\nu })-h\nu e^{-\frac{3}{2}\beta h\nu }}{(1-e^{-\beta h\nu }{)}^2})\\ =-3N{k}_B(\frac{1}{2}\beta h\nu +\ln (1-e^{-\beta h\nu })-\beta h\nu \frac{e^{-\beta h\nu }+\frac{1}{2}(1-e^{-\beta h\nu })}{1-e^{-\beta h\nu }})\\ =3N{k}_B(-\ln (1-e^{-\beta h\nu })+\beta h\nu \frac{1}{e^{\beta h\nu }-1})\end{array}$$

7.22 以 $n$ 表示晶体中原子的密度, 设原子的总角动量量子数为$1$, 磁矩为 $\mu$, 在外磁场 $B$ 下, 原子磁矩可以有三个不同的取向, 即平行、垂直、反平行于外磁场。假设磁矩之间的相互作用可以忽略, 试求在温度为 $T$ 时晶体的磁化强度 $M$, 以及 $M$ 在弱场高温极限和强场低温极限下的近似值。

利用玻尔兹曼统计，此时沿着磁场方向的平均磁矩为

$$\overline{\mu }=\frac{\mu e^{\beta \mu B}-\mu e^{-\beta \mu B}}{e^{\beta \mu B}+1+e^{-\beta \mu B}}$$

所以

$$M(\beta )=n\mu \frac{2\sinh (\beta \mu B)}{2\cosh (\beta \mu B)+1}$$

弱场高温极限下，$\beta \mu B\ll 1$，所以此时上述磁化强度可以展开为

$$M(\beta )\approx \frac{2}{3}n\beta {\mu }^{2}B$$

在强场低温极限下，$\beta \mu B\gg 1$，所以此时上述磁化强度可以近似为

$$M(\beta )\approx n\mu$$

补充题

顺磁固体 ${\mathrm{Gd}}_2{\left({\mathrm{SO}}_4\right)}_3\cdot {\left({\mathrm{H}}_2\mathrm{O}\right)}_8$ 的顺磁性来自 ${\mathrm{Gd}}^{3+}$ 离子, ${\mathrm{Gd}}^{3+}$ 离子基态的谱项为 ${}^8{\mathrm{S}}_{7/2}(L=0,J=S=7/2)$, 试求在高温和低温极限下 ${\mathrm{Gd}}_2{\left({\mathrm{SO}}_4\right)}_3\cdot {\left({\mathrm{H}}_2\mathrm{O}\right)}_8$ 的磁化率。

朗德因子 $g$ 的计算公式为

$$g=1+\frac{J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2J(J+1)}$$

代入 $L=0$, $S=J=7/2$, 得

$$g=1+\frac{\frac{7}{2}\times \frac{9}{2}+\frac{7}{2}\times \frac{9}{2}-0}{2\times \frac{7}{2}\times \frac{9}{2}}=2$$

在高温极限下，居里常数 $C$ 为

$$C=\frac{n{g}^2{\mu }_0{\mu }_B^{2}J(J+1)}{3k_B}$$

其中 $n$ 为 ${\mathrm{Gd}}^{3+}$ 离子数密度。代入 $g=2$, $J=\frac{7}{2}$, $J(J+1)=\frac{63}{4}$, 得

$$C=\frac{63n{\mu }_0{\mu }_B^2}{3k_B}=\frac{21n{\mu }_0{\mu }_B^2}{k_B}$$

零场磁化率服从居里定律

$$\chi =\frac{C}{T}$$

即

$$\chi =\frac{21n{\mu }_0{\mu }_B^2}{k_{B}T}$$

在低温极限下

$$m\approx n{\mu }_{B}gJ$$$$\chi =\frac{m}{H}\to 0$$

银原子蒸气置于磁场中，它的磁矩只能取两个方向，沿磁场方向与逆磁场方向。求：1. 磁矩 $\mu$ 沿磁场方向的分子占总数的成分比；2. 单个分子的平均磁矩。

磁矩 $\mu$ 沿着磁场方向的分子占总数的成分比为

$$\frac{e^{\beta \mu B}}{e^{\beta \mu B}+e^{-\beta \mu B}}$$

单个分子的平均磁矩为

$$\overline{\mu }=\mu \tanh (\beta \mu B)$$